En el siguiente artículo, revisaré los postulados del enfoque de media-varianza, útil para seleccionar la proporción adecuada de cada activo en la cartera de inversiones de acuerdo, al rendimiento y riesgo esperado.
Un portafolio eficiente, según Markowitz (1952, 1959) es aquel que tiene un mínimo riesgo para un retorno dado o equivalentemente, un portafolio con un máximo retorno para un nivel de riesgo dado.
El rendimiento de cualquier portafolio, es considerado una variable aleatoria, para la cual se estima una distribución de probabilidad sobre el periodo de muestra, y es utilizada para cuantificar la rentabilidad de la inversión. La varianza o la desviación estándar son utilizadas como medida del riesgo de los retornos. Esta medición debe realizarse por cada activo y por el portafolio completo.
De acuerdo al planteamiento de Markowitz (1952, 1959) la hipótesis de conducta racional del inversionista, debe llevar a todo agente a preferir un portafolio que represente la mayor rentabilidad para un determinado nivel de riesgo.
La formulación matemática del modelo de Markowitz se presenta en las siguientes ecuaciones. El modelo de Markowitz o enfoque de media-varianza consiste en determinar las ponderaciones que maximizan el retorno esperado del portafolio, sujeto a un riesgo máximo admitido. Es decir:
Sujeto a:
Donde:
Los principales supuestos en los que se basa el enfoque de media-varianza son:
-
Los retornos se encuentran normalmente distribuidos. Cada retorno sobre una inversión tiene asociado una distribución de probabilidad para el próximo período.
-
Se ignoran todo tipo de impuestos y costos de transacción.
-
Los mercados son eficientes, por tanto, los precios reflejan toda la información disponible y se ajustan rápidamente a todas las variables que podrían afectar el valor de los activos.
-
Los inversionistas son racionales.
-
No existe el arbitraje.
A continuación, utilizaré el enfoque media-varianza para encontrar las ponderaciones adecuadas según el retorno y riesgo de cada acción estudiada en la cartera de este blog.
El primer paso consiste en calcular el retorno diario y la desviación estándar de los retornos de cada acción perteneciente a la cartera. Se tomó una muestra diaria que va desde el 11 de agosto de 2016 al 11 de agosto de 2017.
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I. Retornos y desviación estándar |
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Acciones |
Retorno |
Desviación |
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Cristales |
0,08% |
0,66% |
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Froward |
0,16% |
1,27% |
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VSPT |
0,03% |
1,27% |
|
Bsantander |
0,14% |
1,05% |
Luego procedo a calcular las correlaciones entre todas las acciones pertenecientes al portafolio. La definición de coeficiente de correlación viene, dado por la siguiente ecuación:
Sea X e Y variables aleatorias sobre una población, luego:
La definición aplicada a una muestra es la siguiente:
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II. Matriz Correlaciones |
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Acciones |
Cristales |
Froward |
VSPT |
Bsantander |
|
Cristales |
1,00 |
0,05 |
0,02 |
0,05 |
|
Froward |
0,05 |
1,00 |
0,02 |
-0,11 |
|
VSPT |
0,02 |
0,02 |
1,00 |
-0,08 |
|
Bsantander |
0,05 |
-0,11 |
-0,08 |
1,00 |
Una vez, que obtengamos la matriz de correlaciones podemos calcular matriz de covarianzas.
La covarianza también es una medida de la relación entre dos rangos de datos y se calcula como el promedio del producto de desviaciones de puntos de datos de las medias respectivas. La principal diferencia entre el coeficiente de correlación y la covarianza está en que la primer concepto es independiente de la unidad de medida.
La relación entre el coeficiente de correlación y la covarianza es la siguiente:
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III. Matriz Covarianzas |
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Acciones |
Cristales |
Froward |
VSPT |
Bsantander |
|
Cristales |
0,0000429 |
0,0000041 |
0,0000021 |
0,0000037 |
|
Froward |
0,0000041 |
0,0001596 |
0,0000038 |
-0,0000150 |
|
VSPT |
0,0000021 |
0,0000038 |
0,0001594 |
-0,0000106 |
|
Bsantander |
0,0000037 |
-0,0000150 |
-0,0000106 |
0,0001094 |
La matriz de covarianzas ponderada se puede obtener del producto entre el vector transpuesto de las posiciones relativas W’ (1xn) por la matriz de covarianzas (nxn) y el resultado multiplicarlo por el vector de posiciones relativas W (nx1).
Recordando que la línea de mercado está formada por la inversión en un activo libre de riesgo y un activo con riesgo, se puede demostrar que el retorno del mercado se encontrará al determinar las posiciones relativas de cada activo financiero del portafolio óptimo, con la solución simultánea del siguiente juego de ecuaciones:
En este caso, el sistema tiene cuatro ecuaciones y las incógnitas son las participaciones relativas. Los coeficientes de las incógnitas se encuentran en la matriz de covarianzas del portafolio y los términos de la derecha de las ecuaciones son la resta entre las rentabilidades promedio de los activos financieros y la tasa libre de riesgo, que es considerada en este caso en 1,45% efectiva anual (similar a la de un pagaré o bono emitido por el Banco Central de Chile, a cinco años).
El sistema de ecuaciones se podría resolver por el método de sustitución, pero se resuelve más eficientemente por el método de los determinantes, el cual consiste en armar las cuatro matrices adicionales que se muestran a continuación, reemplazando sucesivamente en la matriz de covarianzas, los términos de la derecha del sistema de ecuaciones por los coeficientes de cada incógnita.
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w1 |
0,0007779 |
0,0000041 |
0,0000021 |
0,0000037 |
|
Cristales |
0,0015888 |
0,0001596 |
0,0000038 |
-0,0000150 |
|
|
0,0002693 |
0,0000038 |
0,0001594 |
-0,0000106 |
|
|
0,0013282 |
-0,0000150 |
-0,0000106 |
0,0001094 |
|
|
|
|
|
|
|
w2 |
0,0000429 |
0,0007779 |
0,0000021 |
0,0000037 |
|
Froward |
0,0000041 |
0,0015888 |
0,0000038 |
-0,0000150 |
|
|
0,0000021 |
0,0002693 |
0,0001594 |
-0,0000106 |
|
|
0,0000037 |
0,0013282 |
-0,0000106 |
0,0001094 |
|
|
|
|
|
|
|
w3 |
0,0000429 |
0,0000041 |
0,0007779 |
0,0000037 |
|
VSPT |
0,0000041 |
0,0001596 |
0,0015888 |
-0,0000150 |
|
|
0,0000021 |
0,0000038 |
0,0002693 |
-0,0000106 |
|
|
0,0000037 |
-0,0000150 |
0,0013282 |
0,0001094 |
|
|
|
|
|
|
|
w4 |
0,0000429 |
0,0000041 |
0,0000021 |
0,0007779 |
|
Bsantander |
0,0000041 |
0,0001596 |
0,0000038 |
0,0015888 |
|
|
0,0000021 |
0,0000038 |
0,0001594 |
0,0002693 |
|
|
0,0000037 |
-0,0000150 |
-0,0000106 |
0,0013282 |
|
Acciones |
Retorno |
Tasa Libre de Riesgo |
E(R)-RF |
|
Cristales |
0,08% |
0,01% |
0,08% |
|
Froward |
0,16% |
0,01% |
0,16% |
|
VSPT |
0,03% |
0,01% |
0,03% |
|
Bsantander |
0,14% |
0,01% |
0,13% |
Sea el determinante calculado de la siguiente manera:
Sea A una matriz de orden “n” mayor o igual que 2, definimos el menor M(ixj) asociado al elemento a(ixj) de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor c(ixj) asociado al elemento a(ixj) de A esta dado por:
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Determinante |
Cov |
1,16222E-16 |
|
|
w1 |
1,84371E-15 |
|
|
|
w2 |
1,24878E-15 |
|
|
|
w3 |
2,45193E-16 |
|
|
|
w4 |
1,54355E-15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Participación |
w1 |
15,86376027 |
37,77% |
|
w2 |
10,74481331 |
25,58% |
|
|
w3 |
2,109704731 |
5,02% |
|
|
w4 |
13,2811239 |
31,62% |
|
|
|
Total |
41,99940222 |
100,00% |
Luego de calcular el determinante de cada matriz (completa o COV, w1,…, w4) se debe calcular la proporción de cada determinante (w1,..,w4) sobre el determinante de la matriz de covarianzas original (COV). Sobre la suma de todas estas proporciones calculamos un porcentaje de participación para cada acción.
Por último, una vez determinada las ponderaciones de cada acción, calcularemos el rendimiento y la varianza del portafolio.
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V. Retorno del Portafolio |
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Acciones |
Retorno |
Participación |
Ret x Part |
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Cristales |
0,08% |
35,25% |
0,03% |
|
Froward |
0,16% |
30,74% |
0,05% |
|
VSPT |
0,03% |
5,28% |
0,00% |
|
Bsantander |
0,14% |
28,73% |
0,04% |
|
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Total |
0,12% |
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Varianza |
0,0027% |
|
Desviación Estándar |
0,5196% |
