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Teoría de Portafolio de Markowitz: concepto y ejemplos

El siguiente blog tiene por propósito instruir al lector acerca de un modelo denominado cartera eficiente de Markowitz, antes de interiorizarnos en el modelo en sí, es importante introducirnos en los conceptos elementales de la gestión de inversiones.

 

Teoría de Portafolio de Markowitz: concepto y ejemplos

En el mundo de las finanzas existen dos variables que son elementales para la evaluación de inversiones. Estas son el Riesgo y el Rendimiento, si usted invierte dinero en el mercado de capitales, debe tener presente que a mayor ganancia esperada, mayor riesgo debe asumir. El motivo repunta que mientras más riesgosa sea una inversión, la recompensa debería ser mayor en esa secuencia, porque ¿Usted invertiría en una empresa riesgosa que no le ofrece rentabilidades interesantes?, por lo cual es probable que si quiere obtener rentabilidades atractivas, deba invertir en negocios riesgosos, pero es probable que ante un riesgo elevado, le juegue en contra el factor psicológico (¿Podrá dormir con la incertidumbre que al día siguiente pueda ser que pierda los millones invertidos?). Por ende las finanzas analizan todas estas alternativas y supuestos que puedan pasar, y citando la famosa frase que dice “No es bueno poner todos los huevos en la misma canasta”, es que nace la teoría de carteras de inversión.

 

 

Teoría de Portafolio de Markowitz: Concepto

La teoría de carteras de inversión es una aplicación a la estadística y más en concreto a la distribución normal, sobre estos modelos y más algunos supuestos que agregaremos más adelante, se arman teorías de carteras de inversión.

  • Primero: Una acción o un título a evaluar, tiene un retorno medio, aplicado a una distribución normal estadística, nos ayuda a pronosticar una potencial ganancia que consiste en el promedio de todas las simulaciones que pueden existir acerca del título. Estadísticamente el retorno esperado es la esperanza.
  • Segundo: Indiferente la cantidad de simulaciones, los eventuales escenarios pueden dispersar la media (cuantas veces se dispersa del promedio el escenario individual), ese concepto analiza cuantas veces la media se desvía, lo que estadísticamente se denomina “Varianza” y cuya raíz cuadrada, nos da como resultado “la Desviación Estándar”, la desviación estándar vista bajo este modelo, es el riesgo del título a evaluar.

 

Teoría de Portafolio de Markowitz: Ejemplo 

A continuación se entrega la siguiente información de la Empresa “WWE”, analizando el precio al 05-09-2014 y sobre lo mismo simulando escenarios posibles futuros (segmentados en el caso que la economía este en AUGE, el escenario que la economía no varíe y en el caso que exista una recesión económica)

Precio Actual

US $14,76

05-09-2014

Fecha

Economía

Precio de la Acción

Prob. Ocurrencia

Retorno Esperado

Auge

US $15

20%

1.626%

Esperado

US $14,9

50%

0.949%

Recesión

US $14,5

30%

-1.762%

Si nosotros quisiéramos calcular el retorno esperado (cuanto porcentualmente se espera ganar con este título), tenemos que utilizar la formula estadística de la esperanza, que es la siguiente:

Teoría de Portafolio de Markowitz: Ejemplo 

Donde:

PS: Probabilidad de ocurrencia.

Xi: Retorno esperado del escenario para el Título a analizar

Aplicando la formula a los datos iniciales, el desarrollo y resultado serían los siguientes:

Teoría de Portafolio de Markowitz: Ejemplo 

Con el presente desarrollo, se determina que, en función a los escenarios esperados, la acción de WWE Inc, suba su precio en un 0,2711%, es decir si usted compro 1 acción a 14,76 USD, el precio al final del periodo debería ser  14,8 USD (14,76*0.2711%+14,76).

En este mismo caso, se debe evaluar el potencial riesgo que traería el título, la formula estadística que me ayuda a llegar al riesgo, es la desviación estándar, que matemáticamente corresponde a la raíz cuadrada de la varianza, el motivo que este sea el riesgo, repunta que la varianza como grado de dispersión analiza cuantas veces y en que magnitud uno se desvía de la media (si no existiese desviación a la media que es la rentabilidad esperada, no habría riesgo, por lo cual la ganancia sería fija, cosa que sabemos que para este tipo de activos, no existe), la fórmula matemática de la varianza es la siguiente:

Teoría de Portafolio de Markowitz: Ejemplo 

Donde:

PS: Probabilidad de ocurrencia.

Xi: Retorno Esperado del Escenario para el título a analizar.

E(X): Retorno esperando del título promedio en todos sus escenarios (en este caso 0.2711%)

Aplicando la formula a los datos iniciales, el desarrollo y resultado serían los siguientes:

El resultado nos da un grado de dispersión de 0,0001837, donde si le sacamos la raíz cuadrada, el resultado será el riesgo del título, que en este caso da como resultado aproximado 0.014, que expresado porcentualmente, representa que el riesgo del título “WWE”, es de un 1,14%.

Es razonable que este tipo de activos presente riesgos dado las variables económicas y de mercado que lo puedan afectar, por eso, es que nace el asunto de diversificación de cartera, dado que la idea, sería invertir en una cartera cuyas variables perjudiquen a un título, beneficien al otro y así el riesgo no sistemático sea el mínimo posible.

Teoría de Portafolio de Markowitz: concepto y ejemplos

 

Teoría de Portafolio de Markowitz: Aplicación

Harry Markowitz obtuvo el premio nobel de economía el año 1990, en el año 1952 emitió un artículo denominado “Portfolio Selecction”, donde detallaba que con la observación y la experiencia más las expectativas de inversión futuras, se podían armar carteras de inversión, esta teoría fue profundizada con la frontera eficiente, donde utilizando la varianza de dos activos, y despejando dicha fórmula, se puede llegar al porcentaje exacto a invertir en cada activo para que el riesgo de dos títulos sea el mínimo de cartera, la formula de Markowitz a utilizar para saber qué porcentaje invertir en cada título es la siguiente:

Teoría de Portafolio de Markowitz: Aplicación

El resultado de esta fórmula, nos va a dar el porcentaje exacto a invertir en el título “WWE” para que el riesgo de cartera sea el mínimo, para poder aplicar dicha fórmula, agregaremos los siguientes datos de la empresa “Mattel”:

Título

Mattel inc

Retorno Esperado

0,40%

Varianza

0,0002

Covarianza WWE-MATTEL

-0,5

 

La fórmula anteriormente expuesta utilizando los datos de ambos activos, debería quedar de la siguiente manera:

Teoría de Portafolio de Markowitz: Aplicación

 

El resultado de esta fórmula indica que el porcentaje exacto a invertir en la WWE, es 50%, para simplificar la aplicación del módulo, la teoría de markowitz establece que se deben invertir el 100% de los flujos disponibles, por lo cual si nosotros invertimos 50% en WWE, en Mattel deberíamos invertir 50%, una vez determinado estos porcentajes, deberíamos obtener el promedio ponderado que nos dará la rentabilidad esperada de la cartera, es decir así:

Teoría de Portafolio de Markowitz: Aplicación

El resultado nos da 0.33555%, que significa que por tener un menor riesgo que la wwe y mattel (desviación estándar de Mattel 1,41%)  juntos. Por otro si queremos determina la varianza de ambos activos íntegramente, se debería utilizar la siguiente fórmula:

 Teoría de Portafolio de Markowitz: Aplicación

Utilizando la formula aplicado con nuestros datos, debería quedar así:

Teoría de Portafolio de Markowitz: Aplicación

Esto tiene como resultado que el grado de dispersión de esta cartera sea de 0,9073800792, donde su raíz cuadrada determina que el riesgo de esta cartera es de 0,95% aproximadamente, por lo cual se cumple con la hipótesis de Markowitz que dos activos con diferente correlación (visualizado en la covarianza negativa), conllevarían una sinergia, es decir un mayor valor que en este caso sería un menor riesgo de cartera que invertir en cada uno de forma independiente.

Teoría de Portafolio de Markowitz: Aplicación

 

Teoría de Portafolio de Markowitz: Conclusiones

Las conclusiones de la teoría de portafolio de Markowitz son las siguientes:

  • El modelo presenta la falencia que obliga a invertir el 100% de los recursos disponibles para efectuar el análisis, cosa que en el desarrollo no es así, dado que los inversionistas podrían guardar sus flujos en otros lugares o gastar. Pero en función al costo beneficio, este modelo cumple con lo requerido.
  • Este modelo nos ayuda a visualizar que las estadísticas son una herramienta potente en el mundo de las finanzas y por consiguiente dominarlas es necesario.
  • La diversificación es muy importante, dado que el riesgo debe ser un factor que más detalle necesita, porque los riesgos se controlan, los ingresos fluyen.

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  1. #1

    Favicruz

    Por favor no me sale el grado de dispersión 0,9073800792,por favor me pueden ayudar

  2. #2

    Francisco León

    en respuesta a Favicruz
    Ver mensaje de Favicruz

    Es tomar la covarianza y dividirlo en laa varianzas de ambos activos multiplicadas

  3. #3

    Rgusmr

    en respuesta a Francisco León
    Ver mensaje de Francisco León

    mil disculpas, pueden indicarme como sería esa división no me queda claro, ya que me arroja un valor negativo. Gracias