La fórmula de Black – Opciones sobre Forward de bonos

Un forward es un acuerdo legal y obligatorio entre dos partes, comprador y vendedor de la opción; que le da al comprador el derecho, pero no la obligación, a comprar o vender un contrato de futuro, sobre un bien determinado y a un precio específico, pagando a cambio una prima al vendedor de la opción, quien adquiere la obligación si el comprador ejerce la opción. 

En este documento vamos a mostrar la fórmula para valorar opciones sobre bonos. La fórmula de Black es bastante utilizada para este tipo de opciones al igual que para los CAPS, FLOOR y SWAPTIONS y en general se conoce como el modelo estándar de mercado (Standard Market Model). Es importante anotar que el desarrollo de esta fórmula tiene un rigor teórico importante y en ningún caso constituye una aproximación como se sugiere en algunos libros. En los Anexos de la herramienta “La fórmula de Black”, se describe la deducción teórica de la fórmula. En el caso de opciones sobre bonos la fórmula aplica también para valorar bonos con opciones implícitas como los denominados bonos “callable” o “putable”. En un bono callable el emisor tiene el derecho de recomprar la emisión a un precio específico en el futuro. En el bono putable el comprador del bono tiene el derecho de vendérselo de nuevo al emisor a un precio determinado.

La versión general de la fórmula para el caso de una opción CALL viene dada por la  ecuación 1:




Hay algunas particularidades que debemos tener en cuenta en el momento de utilizar esta fórmula en opciones sobre bonos. A continuación mencionamos las más relevantes:

  1. Es importante anotar que el forward de un bono con cupones debe ser calculado retirando los  cupones que se encuentran entre la fecha de valoración y la fecha del cumplimiento del  forward. En este caso S(t) es el precio del bono en el mercado spot, VP(I) es el valor presente de los  intereses y P(t, T) es el precio del bono cero cupón. 
  2. Debe definirse bien la convención para calcular el precio futuro del bono y el strike. Allí se debe  mirar si se utiliza el precio sucio o el precio limpio, es decir si se acumulan o no los intereses  parciales del último cupón.
  3. Al vencimiento el valor de un bono tiende a par. Esto hace que la volatilidad de su precio tienda  a cero debido a que no existe incertidumbre asociada al valor del mismo. Por ello la convención  en el mercado es utilizar la volatilidad del rendimiento del bono y convertirla  luego a la  volatilidad del precio. Veamos cómo podemos hacer esto:




Utilizar la fórmula de Black para valorar opciones sobre bonos es relativamente sencillo. Sólo debemos  ingresar algunos parámetros y obtendremos el valor de la opción inmediatamente. En este documento  queremos ilustrar como obtener los parámetros a partir de la información del mercado. Vamos a  obtener el precio de una opción CALL Europea con vencimiento en 2 años sobre un bono de la República  de Colombia. Los bonos emitidos por este gobierno se denominan TES y paga un cupón fijo cada año.  Para nuestro ejemplo escogimos una de las referencias líquidas que tiene vencimiento en el año 2024. El  strike lo definimos en 130.

Recordemos que los parámetros que necesitamos ingresar en la fórmula de Black son los siguientes: 

F, K=130, P(0,2), T=2, σ

Por ahora sólo tenemos 2 de los 5 parámetros que necesitamos. Vamos a ilustrar cómo podemos obtener los 3 valores restantes.

Obtención del precio forward

Al precio spot del bono le debemos restar el valor presente de los cupones que  existan entre hoy y la fecha de 2 años. La fecha de hoy es 10/12/2013 y la fecha de 2 años es  10/12/2015. El bono vence el día 24/07/2024 por lo tanto pagará cupones todos los 24 de Julio. De esta  manera debemos sustraer el valor presente de los cupones que se pagan el 24/07/14 y 24/07/15.

Algo adicional que debemos considerar es que entre el 24/07/15 y el 10/12/2015 hay 139 días en los  cuales se están acumulando intereses. Este valor también debe removerse en el cálculo del precio forward. Únicamente nos falta saber cuál es el precio limpio del bono y cuál es la tasa repo con la que  podemos calcular el bono cero cupón a 2 años. En la Figura 1 podemos observar que el precio limpio del bono es 124.378 y la tasa repo a 2 años es 3.25%. Esta información la tomamos de Bloomberg. Con ella podemos calcular el precio forward del bono que en este caso es 112.271431

Obtención de la volatilidad del precio 

Si tuviéramos un mercado de opciones líquido podríamos obtener la volatilidad de cotizaciones de  opciones. Sin embargo, como el mercado aún no es líquido para opciones sobre bonos de la República  de Colombia, podemos utilizar la volatilidad histórica. En la Figura 3 podemos observar la volatilidad del  rendimiento de los bonos con vencimiento en el 2024 durante el último año.

Podemos observar que la volatilidad ha cambiado bastante durante este período con mínimos por  debajo del 10% y máximos cercanos al 50%. Pareciera que el 20% es un nivel promedio en la muestra y  por razones de simplicidad lo vamos a utilizar en este ejemplo. ¿Cómo pasar entonces de una volatilidad  del rendimiento del 20% a una volatilidad del precio forward del bono?

Debemos entonces encontrar el rendimiento al vencimiento del forward del bono Y(t) y su  duración modificada. El rendimiento al vencimiento podemos encontrarlo a partir del precio forward  que tenemos y los flujos de caja del bono. Hay que tener cuidado pues debemos sumar los intereses  acumulados entre el 24/07/2015 y el 10/12/2015 al precio forward del bono para calcular su  rendimiento. Acá debemos hacer uso de la función “buscar objetivo” en EXCEL.

En la Figura 4 podemos  observar los resultados. Allí vemos que el rendimiento del forward del bono es 7.96% y su duración  modificada es 5.87. Utilizando estos datos obtenemos una volatilidad del forward del bono de 9.33%. Esta cifra la podemos utilizar en la fórmula de Black para calcular el precio de la opción. En el archivo de  EXCEL adjunto se muestran con detalle los cálculos.

Si utilizamos una tasa repo de 3.25% a 2 años nuestro bono cero cupón a este plazo sería P(0,2) =  0.9380. Con estos datos podemos calcular el valor de la opción. En la Figura 5 podemos observar que el  valor de la opción es $ 1.0022

Podemos verificar este valor con los datos de Bloomberg. En la Figura 6 podemos observar que el precio  de la opción es 0.9812, es decir que tenemos aproximadamente 2 centavos de diferencia. Vemos que la  volatilidad que calcula Bloomberg es de 9.309% en lugar de 9.33%. Esta diferencia es muy pequeña y se  debe probablemente a ligeras discrepancias en la forma de calcular la duración modificada. Por otra  parte la tasa repo que usa Bloomberg es 3.985% en lugar de 3.25%. Si cambiamos estos dos valores  obtenemos casi el mismo resultado que Bloomberg. Esto se puede apreciar en la Figura 7.

Figura 1
Figura 1

Figura 2
Figura 2


Figura 3
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Figura 4
Figura 4


Figura 5
Figura 5


Figura 6
Figura 6


Figura 7
Figura 7


Por SRDJAN RADIC DEWAR
MBA – FINANCE

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