Teorema Fundamental de Valuación de Activos Financieros
(Parte 2)
La aparición de teoría de probabilidad en modelos financieros no es reciente. De hecho, a principios del siglo pasado, Bachelier (1900), cuando estaba haciendo la tesis ¨Theory of Speculation¨ descubrió el que llamamos ahora movimiento browniano.
Desde 1973, las publicaciones de Black and Scholes y Merton sobre la valoración y cobertura de opciones, abrieron una nueva dimensión para el uso de la teoría de probabilidad en las finanzas. Su modelo trataba de definir un precio explícito para un contrato call europeo con un activo subyacente que no paga dividendos.
Desde entonces, los resultados de Black-Scholes y Merton se han desarrollado y son ahora más claros, más generales y matemáticamente más rigurosos.
Una de las extensiones que se han hecho es la consideración de que el interés es estocástico, y con esto la idea es poder modelar los famosos bonos.
Los modelos estocásticos, son utilizados en la vida real por parte de los analistas cuantitativos para modelar el precio de un gran número de contratos que se compran y venden en los mercados financieros.
El modelo más simple para derivados de tasa de interés es el mercado de los bonos sin cupón, que es uno de los contratos más básicos que existen, y se han presentado diversos métodos que usan procesos estocásticos para describir su comportamiento.
Entonces, para poder valorar y describir la dinámica de contratos más complejos, lo ideal es poder encontrar estrategias de cartera que usen sólo bonos sin cupón y que tengan el mismo flujo de dinero que los primeros.
Es muy importante entender el funcionamiento del mercado que nos disponemos a modelar. Las leyes que rigen el mercado, luego serán las hipótesis del modelo teórico. Toda la teoría se desarrolla en base a estas hipótesis, por lo tanto hay que hacerlo de una forma rigurosa.
Toda la teoría probabilística que nació con los estudios de Black-Scholes, deriva de la hipótesis inicial de que en el mercado no hay oportunidades de arbitraje. A partir de este concepto, nace la famosa probabilidad neutral que va apareciendo en cada uno de los resultados del modelo.
Entonces, a partir de la base del modelo de Black-Scholes, se ha introducido el mercado de los bonos y sus principales características.
Mediante la probabilidad neutral, se ha podido encontrar un proceso estocástico continuo que modela el precio que tienen los bonos en el mercado.
Como sabemos, hay una gran cantidad de instrumentos financieros con los que se opera diariamente en los mercados cuyos valores dependen del precio de los bonos.
El contrato europeo call, tiene un bono como activo subyacente. Mediante una cartera se puede cubrir la opción. El proceso que modela la cartera es martingala con lo que podemos encontrar su expresión.
A parte de los contratos call o put, también son muy usados los contratos Swaps y los Caps and Floors.
Estos tipos de instrumento son usados por los bancos, empresas y cualquier agente que opere en los mercados para cubrirse en caso de cambio de los tipos de interés.
Un método es el de suponer que el precio de los bonos sigue una estructura afín. Es una manera de facilitar los cálculos a la hora de la modelación. Pues bajo la hipótesis de que los procesos de los bonos descontados son martingalas, se obtienen unas ecuaciones que permiten encontrar fácilmente la expresión del proceso estocástico de los bonos.
Hay diferentes versiones de este método, dependiendo de la dinámica que sigue el interés. Esta dinámica depende de unos parámetros que se pueden estimar con valores históricos de mercado de los bonos o los intereses. El Vasicek y el CIR tienen dinámicas parecidas, y la calibración de los parámetros requiere métodos estadísticos o numéricos. En cambio, la calibración en el modelo Ho-Lee o el Hull-White es mucho más fácil por tener estas funciones como parámetros.
Tambien existe otro método, que se basa en modelar el interés forward de los bonos. La ecuación que describe la dinámica de este interés depende sólo de un parámetro.
Srdjan Radic Dewar
MBA Finance
