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¿Cómo usar Markovitz en los Fondos de Pensiones?

               La mayoría de las personas en Chile, tiene distribuido sus fondos de pensiones en un solo fondo, y no le saca provecho a diversificar, que es la esencia de poder disminuir los riesgos. En este post muestro la forma de diversificar en la AFP enseñada por un premio nobel. La gran pregunta es ¿Cómo usar Markovitz a los fondos de pensiones?

 

 

¿Cómo usar Markovitz en los Fondos de Pensiones?

 

Para un portfolio de varios activos definimos

 

R, como rentabilidad del Activo i, para el caso de las AFPs será la rentabilidad promedio del Fondo i, donde i puede ser : A, B, C, D, E.

 

    La rentabilidad esperada de nuestro portfolio elegido será:

Como usar Markovitz en los fondos de pensiones,Rentabilidad Portafolio

    Donde r(i) es la rentabilidad esperada de cada fondo(A,B,C,D,E), se suele usar para calcular estos datos, 100 días hábiles para sacar los promedios de rentabilidad y también se sugiere usar un factor de decaimiento, puesto que la volatilidad de hoy del instrumento estará más cercana a la volatilidad de ayer que la volatilidad de hace 100 días.

 

Por otro lado, definimos un input relacionado al riesgo del instrumento, cuán volátil es:

 

varianza, como la varianza de la rentabilidad del fondo i (A,B,C,D,E)

 

Como usar markovitz en los fondos de pensiones, varianza portfolio es la varianza del portfolio elegido.

 

es el vector de peso del portfolio, para el caso de un portfolio de cinco activos (A, B, C, D, E), el vector sería:

Como usar Markovitz en los fondos de pensiones, vector

 

Donde:

Como usar Markovitz en los fondos de pensiones, uno

 

 

En palabras simples w(i) es el porcentaje que yo estoy invirtiendo en el activo i.

 

       Para obtener un portfolio según rentabilidad o riesgo(varianza), yo puedo hacer dos sistemas de ecuaciones. Primero puedo querer que mi portfolio tenga un riesgo dado y maximizar la rentabilidad del portfolio.

Para ello definimos Matriz de variaza covarianza = S, como :

 

Como usar markovitz en los fondos de pensiones, matriz covarianza

 

Para el caso de nuestro problema de fondos de la afp los Activos, serían de todos los fondos(A,B,C,D,E) e i sería desde A hasta E.

Luego el problema de maximización sujeto a un riesgo esperado, sería:

 

Como usar Markovitz en los fondos de pensiones, maximizacion

O también se puede hacer una minimización del Riesgo, sujeto a una utilidad esperada(R deseada), sería:

 

Como usar Markovitz en los fondos de pensiones, minimizar

 

    Para los casos que elijas invertir en dos fondos, debes agregar la restricción que los pesos de los otros fondos sean igual a cero. Por ejemplo, si deseas invertir en el fondo A y en el fondo E, debieras agregar las siguientes restricciones a tu sistema de ecuaciones, en ambos casos:

 

Como usar Markovitz en los fondos de pensiones, igualdad a cero

Esta optimización la puedes hacer en excel, usando solver.

 

       A modo de conclusión, en el sistema de AFP  chileno tenemos la opción de elegir dos tipos de fondos, usando el modelo de Markovitz podemos maximizar nuestra rentabilidad esperada sujeta a un riesgo limitido y también podemos minimizar nuestro riesgo sujeta a una rentabilidad que deseamos obtener. Así, podemos encontrar una combinación de fondos óptima. Y no hacer un 50% y 50%, que personalmente encuentro un poco simple. Sugiero mantener esta combinación por al menos un año, y luego del año volver hacer los cálculos.

 

 

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